线性筛素数(欧拉筛)
欧拉筛为啥是\(O(n)\)的呢?我们先来看看代码。
#includeusing namespace std;const int maxn=10000000;int n, m, prime[maxn], isnt_prime[maxn], tot;void get_prime(int n){ isnt_prime[0]=isnt_prime[1]=1; for (int i=2; i<=n; ++i){ //当前数是所有数小于n的数而不只是素数,这是欧拉筛与埃氏筛的区别 if (!isnt_prime[i]) prime[++tot]=i; for (int j=1; j<=tot&&i*prime[j]<=n; ++j){ //当前数乘上的素数为prime[j] isnt_prime[i*prime[j]]=1; if (i%prime[j]==0) break; } }}int main(){ scanf("%d%d", &n, &m); get_prime(n); int t; for (int i=0; i
设当前数i的分解为\(i=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}...p_k^{\alpha_k}\ (p_1<p_2<...<p_k)\),当前枚举的i要乘上的素数为\(p_j\),那么,我们要筛掉的数就是\(i*p_j\)。
if (i%prime[j]==0) break;
这一行很重要。欧拉筛的特点,在于每个合数都被它的最小质因数筛掉。假设,当前被筛的数为\(x=i*p_j\)。如果\(p_j>p_1\),意味着\(p_j\)并不是x的最小质因数,等到i变的更大,变成某个\(i'\),x是可以被\(i'*p_1\)筛掉的。因此,如果发现\(p_j>p_1\),就没有必要再继续枚举p下去了。代码的含义其实相同:如果\(p_j\mid i\),意味着\(p_j=p_1\),因此后面枚举的\(p_j\)都大于等于\(p_1\),就不用继续枚举p了。